Canaletto, The Square of Saint Mark's, Venice, Italian, 1697 - 1768, 1742/1744, oil on canvas, Gift of Mrs. Barbara Hutton

Beräkna stora kvadrater med kvadreringsreglerna

Hej! Idag ska vi lära oss någonting som kanske är lite onödigt. Vi ska beräkna 173^2 för hand med hjälp av kvadreringsreglerna, vi börjar dock enklare och repeterar lite innan.

Kvadreringsreglerna

Innan vi börjar är det nödvändigt att du behärskar följande kvadreringsreglerna:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Den andra kvadreringsregeln

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Kvadrater – Vi räknar 15 i kvadrat

De flesta kan kvadraterna 1-12 utantill, vilket nästan bör ses som ett krav hos en årskurs 9 elev. Däremot ovanför det börjar många segla i dimman. Vi kan dock väldigt lätt beräkna  genom att nyttja kvadreringsreglerna. Låt oss börja med 15^2.

Vi har vår 15^2. Denna skriver vi nu om till

15^2=(10+5)^2

Nu nyttjar vi första kvadreringsregeln,

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Där 10=a och 5=b

(10+5)^2=10^2+2 \cdot 10 \cdot 5+5^2

Vi kan räkna ut alla ingående termer lätt

(10+5)^2=100+100+25

När vi summerat detta får vi:

(10+5)^2=225

Resultatet sammanfattas vi som

15^2=225

Vi räknar 27 i kvadrat

Vi kan även vara häftiga och beräkna större kvadrater med hjälp av kvadreringsreglerna i flera steg.

27^2=(10+17)^2

Vi nyttjar nu kvadreringsregeln

(10+17)^2=10^2+2 \cdot 10 \cdot 17+17^2

Vi räknar ihop de termer vi känner oss säkra på

(10^2+2 \cdot 10 \cdot 17)+17^2=440+17^2

Nu gör vi samma sak med 17^2

440+17^2=400+(10+7)^2

Denna expanderar vi ut med kvadreringsregeln

440+(10+7)^2=440+10^2+2 \cdot 10 \cdot 70+7^2

Nu har vi bara termer vi känner till

440+10^2+2 \cdot 10 \cdot 70+7^2=440+100+140+49

En sista polering innan vi räknar ihop det hela

27^2=440+100+140+49

Vi erhåller nu resultatet

27^2=729

Använda andra kvadreringsregeln

Givetvis kan man använda den andra kvadreringsregeln också, men det kan bli rörigare då den innehåller subtraktion. Som exempel kommer vi beräkna 9^2, ett tal som du bör kunna utantill, men för att visa duger det fint.

9^2=(10-1)^2

Nu brukar vi den andra kvadreringsregeln, vilket är den med subtraktion i.

(10-1)^2=10^2-2 \cdot 10 \cdot 1+1^2

Nu expanderar vi ut alla ingående termer

(10-1)^2=100-20+1

Vi räknar ihop och summerar

(10-1)^2=81

Och vi kommer fram till det givna svaret

9^2=81

 

173 i kvadrat – slutprovet på stora kvadrater

173^2=(100+73)^2

(100+73)^2=100^2+2 \cdot 100 \cdot 73+73^2

(100+73)^2=24600+73^2

Nu skriver vi om 73^2 till (100-27)^2

(100-73)^2=24600+(100-27)^2

Nu kvadrerar vi ut  (100-27)^2.

24600+(100-27)^2=24600+100^2-2 \cdot 100 \cdot 27+27^2

24600+(100-27)^2=24600+10000-5400+27^2

24600+(100-27)^2=29200+27^2

Då vi där uppe beräknat 27^2, känns det onödigt att göra det igen

29200+27^2=29200+729

173^2=29200+729

173^2=29929

När detta behövs användas kan vara i situationer där miniräknaren ligger hemma, men att relativt små kvadrater som 16,17,18 ska beräknas. Då är det en fin metod som inte kräver allt för mycket tid.

Bild

Canaletto, The Square of Saint Mark’s, Venice, Italian från National Art of Gallery.