Bevis av produktregeln för derivator

God morgon. Produktregeln för derivator är något som återkommer ofta om du studerar på gymnasiet eller på universitetet. Produktregeln är således värd att kunna utantill!

Härledning av produktregeln

Vi vill härleda produktregeln, och visa att följande stämmer.

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Derivatans definition

Derivatans definition är central för att härleda deriveringsregeln för en produkt. f(x) är inte densamma som i formeln ovan. Derivatans definition skrivs på följande vis:

f\left( x \right)' = \mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}

Nyttja derivatans definition för en produkt

Det vi gör nu är att vi antager att funktionen är deriverbar på hela intervallet, och sedan bankar vi in det i derivatans definition.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}

Nu kommer vi att subtrahera och addera f(x+h)g(x). Detta kommer inte förändra uttrycket. Ett liknande exempel är att du tappar en krona, och hittar en krona igen. Då är du tillbaka på 0 igen.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}

Nu faktoriserar vi ovanstående.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)\big(g(x+h)-g(x)\big)+g(x)\big( f(x+h)-f(x)\big)}{h}

Vi skriver ut två separata bråk istället.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \Big( \frac{f(x+h)\big(g(x+h)-g(x)\big)}{h}+\frac{g(x)\big( f(x+h)-f(x)\big)}{h} \Big)

Därefter delar vi upp vårt gränsvärde till två gränsvärden.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)\big(g(x+h)-g(x)\big)}{h} +\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{g(x)\big( f(x+h)-f(x)\big)}{h}

Vi formulerar om det hela till följande.

(f(x)g(x))'=\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} +\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Då vi känner till lagarna för gränsvärdena skriver vi om det till följande.

(f(x)g(x))'=\big(\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} f(x+h)\big) \mathop {\lim }\limits_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} +\big(\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} g(x)\big)\mathop{\lim }\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Vi kommer ihåg derivatans definition, som vi skrivit ovan, och då ger det oss först

(f(x)g(x))'=\big(\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} f(x+h)\big)g'(x)+\big(\mathop {\lim }\limits_{h\to 0} g(x)\big)f'(x)

Vi utvärderar de två sista gränsvärdena och erhåller nästan slutresultatet.

(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)

Som ett sista steg vänder vi på uttrycket och faktorerna för att göra de lättare att komma ihåg.

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Som ofta i matematiken finns det fler sätt att bevisa någonting, men detta bevis är någorlunda lätt att komma ihåg och bygger egentligen på att en minns derivatans definition eller hittar den i en formelsamling.

  • ye

    fågel