Ena sidan i en rektangel ökar med 10% och den andra minskar med 10%

Godkväll! Idag ska vi titta närmare på en uppgift som har riktigt låga odds att dyka upp på ett prov i årskurs 9 eller på gymnasiets första kurs. Uppgiften formuleras på ungefär följande vis.

I en rektangel ökar den ena sidan med 10%, och den andra sidan minskar med 10% Vad händer med rektangelns area?

Arean minskar alltid med 1%, oavsett vilken längd sidorna i rektangeln hade från början.

Härledning av arean

Rita upp en godtycklig rektangel (figur 1), med basen x och höjden y.

En rektangel med basen x och höjden y.

Figur 1. En rektangel med basen x och höjden y.

Arean av ovanstående rektangel beräknas med hjälp av baden multiplicerad med höjden. vi kallar denna area A_1.

A_1 = xy

Öka och minska med 10%

Det är dags att beräkna de nya längderna för basen och höjden. Den nya basen kan med hjälp av förändringsfaktor skrivas som

(100\% + 10\%)x = (1+0.10)x=1.1x.

Den nya höjden kan på samma sätt skrivas som

(100\%-10\%)y = (1-0.10)y = 0.9y.

Vi ritar upp en bild, figur 2.

Rektangeln efter att ena sidan ökat med 10% och den andra minskat med 10%.

Figur 2. Rektangeln efter att ena sidan ökat med 10% och den andra minskat med 10%.

Den nya arean,A_2 beräknas med hjälp av basen multiplicerad med höjden.

A_2= (1.1x)(0.9y)=0.99xy.

Resultatet och svar

Vi kommer ihåg att arean innan förändring,

A_1 = xy.

Vi substituerar in A_1 in i uttrycket nedan.

A_2 = 0.99xy = 0.99A_1.

Vi förtydligar med ett steg emellan.

A_2=0.99A_1.

Nu är det väldigt lätt att se slutsatsen. Arean minskar alltid med 1%. Detta beror på att 0.99=99\%, och A_2 är hela tiden 99\% av den ursprungliga arean A_1.

Ett räkneexempel med tal

Du kommer inte erhålla några A-kvalitéer på följande vis, utan detta syftar endast till att visa det med tal för dessa som tycker det är bekvämare.

Samma uppgift. Låt oss ta en rektangel med basen 14 cm och höjden 8 cm.

Den första arean beräknas igen

A_1 = 8\cdot14 = 112 cm^2.

Basen ökar nu med 10%, och den nya basen kan med hjälp av förändringsfaktor skrivas som

8\cdot1.1 = 8.8 cm.

Höjden minskar med 10%, vilket också skrivs med förändringsfaktor,

14\cdot0.9 = 12.6 cm.

Den nya arean,

A_2 = 8.8\cdot12.6 = 110.88 cm^2.

Vi kan nu räkna ut den procentuella skillnaden med antingen förändringsfaktor,

Forandringsfaktor = \frac{Nya~vardet}{Gamla~vardet}.

Med numeriska värden insatta.

Forandringsfaktor = \frac{110.88}{112}=0.99.

Inte helt förvånande erhåller vi samma resultat som med lösningen ovan.

Notering

Vid skarpt läge på ett prov eller ett test använd den första lösningen. Detta eftersom denna inkluderar alla rektanglar i universum, medan räkneexempelet endast är giltigt för en triangel. Självklart är det trevligare att veta att något gäller för alla rektanglar, än för bara en.

  • M

    Funkar det likadant med en kvadrat fast man hoppar över steget med subtraherat på höjden då den inte minskar? Om det är på ett annat sätt skulle en förklaring uppskattas på hur det fungerar när en kvadrat ökar med 10% och arean med 21%

    • Christoffer

      Det fungerar på liknande sätt. Nedan är ett mycket snabbt utkast på hur du skulle kunna tänka.
      Sätt gamla arean till
      A1 = x*x där sidan i kvadraten har längden är x.

      Ökar du längden med 10% får du en förändringsfaktor på 1.10. (100% + 10%) i decimalform är 1.10.

      A2 = (1.10x*)*(1.10x) = 1.21*x*x.

      Dvs, arean ökar med 21%.