Exempel på matematisk induktion

God morgon. Tidigare har induktion förklarats, men då exempeluppgifterna har en förmåga att ta upp mycket plats har dessa delats upp så att dessa finns varsin sida. Idag ska vi bevisa att följande påstående är sant för alla positiva heltal med hjälp av induktion.

3+8+15 + … + n(n+2) = (1/6)n(n+1)(2n+7)

Ovanstående kan också skrivas som följande, så blir det lättare att se vad de första termerna kommer ifrån.

1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)

Vi kommer nu göra precis samma steg som vi gjorde i introduktionen. Ovanstående ska bevisas för alla naturliga heltal.

Kontrollera om det är sant för n=1

Först ut är vänsterledet:

VL = 1(1+2) = 3

Därefter högerledet:

HL = \frac{1}{6}\cdot1\cdot(1+1)(2\cdot1+7)=3

Påståendet är sant för n=1.

Antag att det är sant för n=k

Nu genomför vi vårt induktionsantagande. Nu antager vi helt och hållet att påståendet är sant för n=k där k är vilket positivt heltal som helst.

1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + k(k+2) = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+7)

Visa att det är sant för n=k+1

Nu vill vi visa att det stämmer för talet n=k+1

1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + k(k+2) + (k+1)((k+1)+2) = \frac{1}{6}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)

En uppstädning och addera termerna inom parenteserna kan vi kosta på oss för att göra det lättare senare.

1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + k(k+2) + (k+1)(k+3) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9)

Substituera in vårt induktionsantagande vi gjort för dessa termer.

\frac{1}{6}k(k+1)(2k+7) + (k+1)(k+3) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9)

Börja med att faktorisera något, på något sätt, exempelvis kan vi börja med (k+1)

(k+1)\Big(\frac{1}{6}k(2k+7)+(k+3)\Big)

Ungefär här inser vi att uttrycket kommer vara väldigt jobbigt att fortsätta, men om vi tänker bort faktorn (k+1) ur både höger och vänsterledet kan vi göra något som gör det enklare. Följande ska vi numera alltså visa.

(k+1)\Big(\frac{1}{6}k(2k+7)+(k+3)\Big)= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9)

Låt oss nu ansätta två variabler, typ

A = \Big(\frac{1}{6}k(2k+7)+(k+3)\Big)

Och för vår andra variabel

B = \frac{1}{6}(k+2)(2k+9)

Då kan induktionen skrivas som

(k+1)A= (k+1)B

Om vårt ursprunglig påstående är sant gäller alltså A=B

Utveckla alla uttrycken

A =\Big(\frac{1}{6}k(2k+7)+(k+3)\Big) = \frac{k^2}{3} + \frac{13k}{6} + 3

Respektive

B = \frac{1}{6}(k+2)(2k+9) = \frac{k^2}{3} + \frac{13k}{6} + 3

Detta innebär att vi visat att

1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + k(k+2) + (k+1)(k+3) = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+9)

är sant och således är påståendet sant enligt matematisk induktion.

Notering

Anledning till att vi använder oss av A och B beror helt och hållet på att det helt enkelt blev för jobbigt att faktorisera och se att uttrycken liknar varandra. Då är det lättare att istället multiplicera ihop parenteserna och titta om vi erhåller samma, vilket vi gjorde.