Faktorisera uttryck

Hej! Idag ska vi titta närmare på hur man kan faktorisera uttryck. Vi kommer dock börja i andra änden för att göra det hela mer lättförståeligt.

Att utveckla ett uttryck

Om vi har $x(x+4)$ kan vi utveckla detta genom att multiplicera in x i parentesen, vilket ger oss

$x(x+4)=x \cdot x+4 \cdot x=x^2+4x$

När vi faktoriserar ett uttryck vill vi gå från $x^2+4x$ till $x(x+4)$ , dvs raka motsatten mot att utveckla ett uttryck.

Så hur går man då tillväga?

Låt oss säga att vi vill faktorisera $x^2+6x$ . Då kan vi enkelt börja med att skriva ut det som $x \cdot x+6 \cdot x$ . Det som båda termerna har gemensamt är att $x$ är en faktor i dem. Därför hamnar $x$ utanför parentesen.

$x^2+6x$

$x \cdot x+6 \cdot x$

$x(x+6)$

Exempel på faktorisering av uttryck

Om vi nu vill faktorisera $3x^2+6x$ kan vi använda samma metod.

$3 \cdot x \cdot x+2 \cdot 3 \cdot x$

Det gemensamna båda termerna har är faktorn $3 \cdot x$ , alltså hamnar den utanför parentesen.

$3 \cdot x(x+2)=3x(x+2)$

Prova gärna att utveckla uttrycket igen och se att det blir samma sak.

Exempel två på faktorsering av uttryck

Låt oss nu faktorisera $6t^6+3t^3+9t^2$ . Det kan vara något arbetsamt att skriva ut

$t^6=t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t$

Istället är det här enklast att titta på potensen.
Alla termer innehar en $t^2$ faktor, därför sätter vi den utanför parentesen.

$t^2(6t^4+3t+9)$

Men än är vi inte klara, om vi faktoriserar koefficienterna inuti parentesen finner vi att

$t^2(6t^4+3t+9)$

$t^2(2 \cdot 3 \cdot t^4+3 \cdot t+3 \cdot 3)$

Alla termer inuti parentesen har den gemensamma faktorn $3$ .

$t^2(3(2t^4+t+3))$

Vi kan nu multiplicera in $t^2$ i parentesen för att göra det mer lättläst.

$t^2 \cdot 3(2t^4+t+3)$

$3t^2(2t^4+t+3)$

Två eller fler variabler

Det fungerar på samma sätt om man har två variabler. Vi har uttrycket $z^2y^3-zy^4$

$z \cdot z \cdot y \cdot y \cdot y - z \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$

Den gemensamma faktorn är $z \cdot y \cdot y \cdot y=zy^3$ , då hoppar den in framför parentesen.

$zy^3(z-y)$

Exempel på fler faktorsering med variabler

Vi har uttrycket $5y^2-5t^2$ som vi vill snygga upp.

Vi bryter först ut $5$

$5(y^2-t^2)$

Nu tillämpar vi konjugatregeln.

$5((y+t)(y-t))$

Efter att ha städat upp parenteserna är vi klara.

$5(y+t)(y-t)$

Faktorisering av exponentialutryck

Självklart kan vi även faktorisera exponentialuttryck.

$e^{7x}+e^{4x}$

Här gäller det dock att kunna räknereglerna för potenser.

Den gemensamma faktorn är $e^{4x}$ eftersom $e^{7x}$ kan skrivas som

$e^{7x}=e^{4x} \cdot e^{3x}$

På samma sätt hamnar nu $e^{4x}$ framför parentesen.

$e^{4x}(e^{3x}+1)$

Om du undrar om någon övrig faktorisering, använd kommentarsfältet så ska vi förhoppningsvis reda ut det.

Comments

13 oktober, 2013 Reply

Exemplet under ”Två eller flera variabler” kan faktoriseras längre och blir ”zy^3(z-y)”.

//P

13 oktober, 2013 Reply
Christoffer Stenberg

Tack så mycket! Det är numera ordnat och skribenten för denne artikel har tilldelats en känga för denna miss!

24 oktober, 2013 Reply

Hur skall man tänka då man ska faktorisera: ac-bc-a+b?
Tack på förhand

24 oktober, 2013 Reply
Christoffer Stenberg

Hej!

Då kan man börja såhär att man faktoriserar det man kan:
ac-bc-a+b = c(a-b)-a+b

Nu kan man skriva om -a+b till -(a-b), tecknet inuti parentesen ändras ju som sagt om du petar dit eller tar bort en parentes framför, således:
c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)

Nu kan vi bryta ut (a-b) och detta ger:
(c-1)(a-b)

Slutsats:
ac-bc-a+b=(c-1)(a-b)
1. 24 oktober, 2013 Reply
  Q
  
  tack så mycket för hjälpen, men hur tänker man i det sista steget? När man skall bryta ut -(a-b)?
  Mvh
  1. 27 oktober, 2013 Reply
    Christoffer Stenberg
    
    Hej! Förlåt för det sena svaret, har varit internetlös under helgen!
    När man kommit hit, kan man sätta en en 1a framför parentesen.
    c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)
    c(a-b)-a+b = c(a-b)-1(a-b) = (c-1)(a-b)
    
    Annars kan du ersätta (a-b) med exempelvis Q för att göra det tydligare.
    c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)
    c(a-b)-a+b = cQ-Q
    vilket sedan blir (c-1)Q, och sedan ersätter du tillbaka, (c-1)(a-b)
    
    Hoppas det blev lite klarare!

23 oktober, 2017 Reply

Stella

Hej! Finns det några uppgifter eftersom jag inte hottar några bra uppgifter där jag kan lära mig att fakturisera?

24 oktober, 2017 Reply
Christoffer

Hej! Jag har dessa uppgifter från i somras som jag egenhändigt komponerat. https://uploads.disquscdn.com/images/3e20faa0852df8f99a6de3df5f332dbc5d86d0152c90405b59e86184e2e9d870.jpg
https://uploads.disquscdn.com/images/1395d6e535c0397153911b046525605c2a37534759fd9f054b360793068eeee4.jpg

Jag har dessvärre ingen koll på var det kan finnas mer uppgifter, det är möjligt att din lärare (om du går i skolan fortfarande) kan ha någon gammal bok med uppgifter liggandes.