Faktorisera uttryck

Hej! Idag ska vi titta närmare på hur man kan faktorisera uttryck. Vi kommer dock börja i andra änden för att göra det hela mer lättförståeligt.

Att utveckla ett uttryck

Om vi har x(x+4) kan vi utveckla detta genom att multiplicera in x i parentesen, vilket ger oss

x(x+4)=x \cdot x+4 \cdot x=x^2+4x

När vi faktoriserar ett uttryck vill vi gå från x^2+4x till x(x+4), dvs raka motsatten mot att utveckla ett uttryck.

Så hur går man då tillväga?

Låt oss säga att vi vill faktorisera x^2+6x. Då kan vi enkelt börja med att skriva ut det som x \cdot x+6 \cdot x. Det som båda termerna har gemensamt är att x är en faktor i dem. Därför hamnar x utanför parentesen.

x^2+6x

x \cdot x+6 \cdot x

x(x+6)

Exempel på faktorisering av uttryck

Om vi nu vill faktorisera 3x^2+6x kan vi använda samma metod.

3 \cdot x \cdot x+2 \cdot 3 \cdot x

Det gemensamna båda termerna har är faktorn 3 \cdot x, alltså hamnar den utanför parentesen.

3 \cdot x(x+2)=3x(x+2)

Prova gärna att utveckla uttrycket igen och se att det blir samma sak.

Exempel två på faktorsering av uttryck

Låt oss nu faktorisera 6t^6+3t^3+9t^2. Det kan vara något arbetsamt att skriva ut

t^6=t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t

Istället är det här enklast att titta på potensen.
Alla termer innehar en t^2 faktor, därför sätter vi den utanför parentesen.

t^2(6t^4+3t+9)

Men än är vi inte klara, om vi faktoriserar koefficienterna inuti parentesen finner vi att

t^2(6t^4+3t+9)

t^2(2 \cdot 3 \cdot t^4+3 \cdot t+3 \cdot 3)

Alla termer inuti parentesen har den gemensamma faktorn 3.

t^2(3(2t^4+t+3))

Vi kan nu multiplicera in t^2 i parentesen för att göra det mer lättläst.

t^2 \cdot 3(2t^4+t+3)

3t^2(2t^4+t+3)

Två eller fler variabler

Det fungerar på samma sätt om man har två variabler. Vi har uttrycket z^2y^3-zy^4

z \cdot z \cdot y \cdot y \cdot y - z \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y

Den gemensamma faktorn är z \cdot y \cdot y \cdot y=zy^3, då hoppar den in framför parentesen.

zy^3(z-y)

Exempel på fler faktorsering med variabler

Vi har uttrycket 5y^2-5t^2 som vi vill snygga upp.

Vi bryter först ut 5

5(y^2-t^2)

Nu tillämpar vi konjugatregeln.

5((y+t)(y-t))

Efter att ha städat upp parenteserna är vi klara.

5(y+t)(y-t)

Faktorisering av exponentialutryck

Självklart kan vi även faktorisera exponentialuttryck.

e^{7x}+e^{4x}

Här gäller det dock att kunna räknereglerna för potenser.

Den gemensamma faktorn är e^{4x} eftersom e^{7x} kan skrivas som

e^{7x}=e^{4x} \cdot e^{3x}

På samma sätt hamnar nu e^{4x} framför parentesen.

e^{4x}(e^{3x}+1)

Om du undrar om någon övrig faktorisering, använd kommentarsfältet så ska vi förhoppningsvis reda ut det.

  • P

    Exemplet under ”Två eller flera variabler” kan faktoriseras längre och blir ”zy^3(z-y)”.

    //P

    • Tack så mycket! Det är numera ordnat och skribenten för denne artikel har tilldelats en känga för denna miss!

  • Q

    Hur skall man tänka då man ska faktorisera: ac-bc-a+b?
    Tack på förhand

    • Hej!

      Då kan man börja såhär att man faktoriserar det man kan:
      ac-bc-a+b = c(a-b)-a+b

      Nu kan man skriva om -a+b till -(a-b), tecknet inuti parentesen ändras ju som sagt om du petar dit eller tar bort en parentes framför, således:
      c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)

      Nu kan vi bryta ut (a-b) och detta ger:
      (c-1)(a-b)

      Slutsats:
      ac-bc-a+b=(c-1)(a-b)

      • Q

        tack så mycket för hjälpen, men hur tänker man i det sista steget? När man skall bryta ut -(a-b)?
        Mvh

        • Hej! Förlåt för det sena svaret, har varit internetlös under helgen!
          När man kommit hit, kan man sätta en en 1a framför parentesen.
          c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)
          c(a-b)-a+b = c(a-b)-1(a-b) = (c-1)(a-b)

          Annars kan du ersätta (a-b) med exempelvis Q för att göra det tydligare.
          c(a-b)-a+b = c(a-b)-(a-b)
          c(a-b)-a+b = cQ-Q
          vilket sedan blir (c-1)Q, och sedan ersätter du tillbaka, (c-1)(a-b)

          Hoppas det blev lite klarare!