Hej! Idag ska vi titta närmare på hur man kan faktorisera uttryck. Vi kommer dock börja i andra änden för att göra det hela mer lättförståeligt.
Att utveckla ett uttryck
Om vi har x(x+4) kan vi utveckla detta genom att multiplicera in x i parentesen, vilket ger oss
x(x+4)=x \cdot x+4 \cdot x=x^2+4x
När vi faktoriserar ett uttryck vill vi gå från x^2+4x till x(x+4), dvs raka motsatten mot att utveckla ett uttryck.
Så hur går man då tillväga?
Låt oss säga att vi vill faktorisera x^2+6x. Då kan vi enkelt börja med att skriva ut det somx \cdot x + 6 \cdot x. Det som båda termerna har gemensamt är att x är en faktor i dem. Därför hamnar x utanför parentesen.
x^2+6x = x(x+6)
Exempel på faktorisering av uttryck
Om vi nu vill faktorisera 3x^2+6x kan vi använda samma metod.
3 \cdot x \cdot x + 2 \cdot 3 \cdot x
Det gemensamma båda termerna har är 3x, alltså hamnar den utanför parentesen.
3 \cdot x \cdot x + 2 \cdot 3 \cdot x = 3x(x+2)
Prova gärna att utveckla uttrycket igen och se att det blir samma sak.
Exempel två på faktorsering av uttryck
Låt oss nu faktorisera 6t^6+3t^2+9t^2. Det kan vara något arbetsamt att skriva ut
t^6=t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t
Istället är det här enklast att titta på potensen.
Alla termer innehar en t^2 faktor, därför sätter vi den utanför parentesen.
t^2(6t^4+3t+9)
Men än är vi inte klara, om vi faktoriserar koefficienterna inuti parentesen finner vi att
t^2(6t^4+3t+9)=t^2(2 \cdot 3 \cdot t^4+3 \cdot t+ 3 \cdot 3)
Alla termer inuti parentesen har den gemensamma faktorn 3.
t^2(3(2t^4+t+3))
Vi kan nu multiplicera in t^2 i parentesen för att göra det mer lättläst.
t^2 \cdot 3(2t^4+t+3)=3t^2(2t^4+t+3)
Två eller fler variabler
Det fungerar på samma sätt om man har två variabler. Vi har uttrycket z^2y^3-zy^4
z \cdot z \cdot y \cdot y \cdot y - z \cdot y \cdot y\cdot y\cdot y
Den gemensamma faktorn är zy^3, då hoppar den in framför parentesen.
zy^3(z-y)
Exempel på fler faktorsering med variabler
Vi har uttrycket 5y^2-5t^2som vi vill snygga upp.
Vi bryter först ut 5
5(y^2-t^2)
Nu tillämpar vi konjugatregeln.
5((y+t)(y-t))
Efter att ha städat upp parenteserna är vi klara.
5(y+t)(y-t)
Faktorisering av exponentialutryck
Självklart kan vi även faktorisera exponentialuttryck.
e^{7x}+e^{4x}Här gäller det dock att kunna räknereglerna för potenser.
Den gemensamma faktorn är e^{4x} då
e^{7x}=e^{4x} \cdot e^{3x}På samma sätt hamnar nu e^{4x} framför parentesen.
e^{4x}(e^{3x}+1)Om du undrar om någon övrig faktorisering, använd kommentarsfältet så ska vi förhoppningsvis reda ut det.