Introduktion till induktion med summasymbolen

God afton. Induktion med summasymbolen fungerar precis på samma sätt som matematisk induktion utan, enda skillnaden är att du behöver förstå summatecknet, därför kommer vi lätt att titta på summasymbolen innan vi tar ett exempel på induktion med summasymbol längre ner.

Summatecknet

Summasymbolen eller summatecknet heter sigma, och kommer från det grekiska alfabetet. Såhär fungerar det…

\sum\limits_{k=1}^3 k^2 = 1^2+2^2+3^2

Det innebär att om vi skriver exempelvis

\sum\limits_{k=1}^{3+1} k^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2

Låt oss säga att vi inte vet vid vilket tal vi ska sluta summera ihop talen vid tal m.

\sum\limits_{k=1}^{m} k^2 = 1^2+2^2 + \dots + m^2

Nu vill vi summera ihop alla tal från 1 till m+1, det måste då bli på följande vis. Detta steg är viktigt för det är nyckeln till att få induktionen att fungera senare.

\sum\limits_{k=1}^{m+1} k^2 = 1^2+2^2 + \dots + m^2 + (m+1)^2

Den senare raden kan också skrivas som nedanstående. Detta är också ett mycket viktigt steg att förstå.

\sum\limits_{k=1}^{m+1} k^2 = \sum\limits_{k=1}^{m} k^2 + (m+1)^2

Exempel på induktion med summatecken

Vi vill visa att följande påstående är sant med hjälp av matematisk induktion. Vi kommer göra precis på samma sätt som alltid, dvs i tre steg. Nedanstående ska visas för n\geq 1.

\sum\limits_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

Är det sant för n=1?

Vi kontrollerar vänsterledet och högerledet för sig.

VL=\sum\limits_{k=1}^{1} k^3 =1^3 = 1

Självklart högerledet också.

HL = \frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1

Vi kommer snabbt fram till att VL=HL.

Induktionsantagandet, sant för n=p

Nu genomför vi vårt induktionsantagande. Här är det klokt att använda någon annan variabel än de som ingår i summasymbolen för tillfället. På en datorskärm är det inget problem att använda exempelvis m, men det skrivs för hand är det lätt att n och m liknar varandra för mycket.

\sum\limits_{k=1}^{p} k^3 = \frac{p^2(p+1)^2}{4}

Visa att det är sant för n=p+1

Vårt sista steg är som vanligt att visa för nästkommande tal också.

\sum\limits_{k=1}^{p+1} k^3 = \frac{(p+1)^2((p+1)+1)^2}{4}

Genom att addera ihop termerna i högerledet får vi följande:

\sum\limits_{k=1}^{p+1} k^3 = \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Nu tar vi vår kunskap om summatecken som står först i vår genomgång, och skriver om det som följande

\sum\limits_{k=1}^{p} k^3 + (p+1)^3= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

 Det fina i kråksången är att nu blir det enkelt att substituera in vårt induktionsantagande som vi tidigare gjort. Kan vi visa att det är sant så stämmer uppgiften.

\frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Faktorisera ut (p+1)^2 i vänsterledet.

(p+1)^2\big( \frac{p^2}{4}+(p+1) \big)= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Skriv på samma bråksträck i vänsterledet

(p+1)^2\big( \frac{p^2 +4(p+1)}{4}\big)= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Med hjälp av kvadreringsregeln ankommer vi vår sista anhalt.

(p+1)^2\big( \frac{(p+2)^2}{4}\big)= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Om vi vill vara extra petiga kan vi göra de identiska.

\frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4} = \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Ovanstående gäller alltså enligt matematisk induktion.