Kvadratkomplettering av andragradsekvationer

Hej! Idag ska vi titta närmare på hur man kvadratkompletterar för att få fram nollställen i en andragradsekvation.

Exempel på kvadratkomplettering

Vi har följande andragradsekvation,

x^2 -4x - 12=0.

Det vi kommer göra nu är att komplettera med en kvadrat. Detta för att vi ska kunna skriva uttrycket som en kvadrat.

För att göra detta lägger man till ”halva koefficienten framför x”. I vårt fall blir detta på följande vis:

x^2 - 4x- 12 + (\frac{4}{2})^2 \neq 0

Detta är inte lika med noll då vi helt plötsligt lagt till

(\frac{4}{2})^2.

Detta kan vi lösa genom att helt enkelt subtrahera det igen.

x^2 - 4x - 12+ (\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2=0

Om vi strukturerar om detta lite grann innan nästa steg blir det enklare.

x^2-4x+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2-12=0

De tre första termerna,

x^2-4x+(\frac{4}{2})^2

kan nu skrivas som

x^2-4x+(\frac{4}{2})^2=(x-2)^2

i enlighet med andra kvadreringsregeln.

(x-2)^2-(\frac{4}{2})^2-12=0

(x-2)^2-4-12=0

(x-2)^2-16=0

(x-2)^2-4^2=0

Då vi har två kvadrater kan vi ta användning av konjugatregeln.

(x-2)^2-4^2=(x-2+4)(x-2-4)=0

(x-2+4)(x-2-4)=0

(x+2)(x-6)=0

Lösningarna på ekvationen x^2 - 4x - 12=0 måste således vara x_1=-2 och  x_2=6. För om x är något av dessa värden, blir ena parentesen noll, och att multiplicera med noll ger ju som bekant noll i resultat.