Läsuppgifter om en bro – Pythagoras sats

Godkväll! På de nationella proven i årskurs 9 och matematik 1 på gymnasiet förkommer det i princip alltid en uppgift där Pythagoras sats ingår i en läsuppgift. Ofta kan uppgiften ge möjlighet att visa A-kvalitéer.

Så gott som alltid innehåller uppgiften en mängd överflödig information och då gäller det att sålla ut det viktiga. Vi har här sammanställt några typer av brouppgifter som kan dyka upp på ditt nationella prov i årskurs 9 eller ditt nationella prov i matematik 1 på gymnasiet.

Hur hög är bron?

En vägbro över ett sund är 240 meter lång. I Varje broände sitter två pelare som har 136 meter långa vajrar med fäste i brons mittpunkt. Den segelfria höjden under bron är 51 meter. Se figur 1.

Vår bro med angivna mått.

Figur 1. Vår bro med angivna mått.

För att räkna ut den totala pelarhöjden, behöver vi veta hur högt det är från vägbanan till toppen av pelaren. Vi kallar detta avstånd för h.

Då bron är 240 meter lång, innebär det att hälften av bron är 120 meter lång. Nu har vi en rätvinklig triangel, med 2 kända och 1 okänd. Den okända är höjden h. Se figur 2. Vi skriver upp det som en ekvation.

120^2 + h^2 = 136^2

Subtrahera 120^2 från båda sidorna av ekvationen.

h^2 = 136^2 - 120^2

Dra kvadratroten ur båda leden. Vi är bara intresserade av den positiva lösningen eftersom en sträcka i det här fallet inte kan vara negativ.

h = \sqrt{136^2 - 120^2} = \sqrt{4096}=64.

Den totala höjden för pelaren måste då vara den segelfria höjden och därtill adderat höjden från vägbanan till pelartoppen.

Pelarhöjden räknar då ut som

64 + 51 = 115~m.

Svar: Brons pelare från vatten till toppen är 115 meter höga.

Hur långa är de sneda brobalkarna?

En bro är 48 meter lång och står på fyra balkar fästa i två punkter i enlighet med figur 2. Räkna ut hur långa brons balkar är, dvs L, samt höjden h.

En illustrerad bro med sneda balkar.

Figur 2. En illustrerad bro med sneda balkar.

Uppgiften kan verka komplicerad vid första anblick, men så länge det går lugnt till behöver det inte bli alldeles för svårt. Det första vi noterar är att vi har två trianglar som är identiska.

Vi kontrollerar om triangeln är rätvinklig. Det är den bara om sista vinkeln är 90 grader. Detta måste stämma eftersom vinkelsumman i en triangel är 180 grader, och subtraheras 45 grader två gånger blir resultatet 90 grader. Vi skriver om texten till siffror istället.

180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}.

Vi har alltså visat att båda trianglarna är rätvinklig, och nu kan vi använda Pythagoras sats.

En ny bild med Pythagoras sats

Nästa steg i att beräkna hur lång balken L är blir att ta en av våra två trianglar och titta på den ensam, vilket är figur 3. Vi har valt att rotera den för att göra det lättare. Nu matchar exempelvis triangeln exakt den du bör ha i din formelsamling om du får använda en sådan. Hypotenusan i figur 3 blir logiskt hälften av 48 meter, vilket givetvis är 24 meter.

En av våra två trianglar roterade.

Figur 3. En var våra trianglar roterade.

Sidorna L och gröna L är lika långa, då en triangel med två likadana vinklar alltid är en likbent triangel.

Nu ställer vi upp Pythagoras sats.

a^2+b^2=c^2

Vi identifierar våra sidor och kommer fram till att följande måste gälla:

L^2 + L^2 = 24^2

Nu kan vi samla ihop termerna.

2L^2=24^2

Dividerar vi med 2 på båda sidorna nu närmar det sig.

L^2=\frac{24^2}{2}

Med hjälp av kvadratroten ur kommer vi erhålla två värden på L, men vi är bara intresserade av det positiva då det är en sträcka.

L=\sqrt{\frac{24^2}{2}}=16.971\dots \approx 17~m.

Ett exakt värde är alltid trevligt och det kan fås genom att dra roten ur både nämnaren och täljaren, och sedan förlänga med roten ur 2.

L=\frac{24}{\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}~m.

Svar: Brons balk är 17 meter lång.

Beräkna höjden under bron med Pythagoras sats

Höjden för vår andra bro beräknas i princip enligt samma modell som den allra första uppgiften på sidan. I vår höjd-triangel nu är således bottensidan hälften av 24 meter, dvs 12 meter, och hypotenusan är L, som vi beräknat till 12\sqrt{12} meter.

Vi sätter in allt i Pythagoras sats, och låter höjden vara den okända variabeln.

h^2+12^2=(12\sqrt{2})^2

Variabeln h som vi söker löser vi så den står ensam på likhetstecknet, vi subtraherar 12^2.

h^2=(12\sqrt{2})^2-12^2

Nu kan det vara värt att försöka förenkla vårt uttryck på högerledet, så slipper vi göra det senare, alternativt få en onödigt jobbig beräkning att slå in på miniräknaren. Vi börjar med att sätta in exponenten i parentesen.

h^2=12^2\sqrt{2}^2-12^2

Roten ur och kvadraten tar ut varandra.

h^2=12^2\cdot2-12^2

En enkel subtraktion behövs göras, vi har två 12^2 och tar bort en 12^2.

h^2=12^2

Nu tar vi roten ur, och även här är vi endast intresserade av den positiva lösningen, då en sträcka inte kan vara negativ.

h=\sqrt{12^2}=12~m.

Svar: Brons höjd, kallad h är 12 meter.

Det går också att komma fram till 12 meter genom att triangeln är likbent, och vi vet 2 sidor redan, men då får vi ju inte använda Pythagoras sats en extra gång, och det vore synd.

Bra att tänka på

  • Om det blir mycket att hålla i huvudet, rita en bild för att avlasta hjärnan.
  • Använd det exakta värdet i kommande beräkningar, jämför hur svårt det hade blivit att ha 16.971 mot 12\sqrt{2} och försöka förenkla och komma fram till något exakt svar.
  • Det är alltid bra att skriva flera steg, speciellt om du är osäker. Hellre ett steg för mycket än ett för lite.