Exempel på Pythagoras sats

Vi har tidigare bevisat Pythagoras sats, och nu vill vi gärna ett par exempel på Pythagoras sats. I denna post har vi samlat 3 exempel på Pythagoras sats, en för varje sida som är okänd.

För en rätvinklig i enlighet med figur 1 nedan gäller:

Rätvinklig triangel med kateterna a och b, samt hypotenusan c.

Figur 1. Rätvinklig triangel med kateterna a och b, samt hypotenusan c.

a^2+b^2=c^2

Hypotenusan c är okänd

En rätvinklig triangels kateter har längdenheterna 12 och 9.

En triangel med sidorna 12 och 9 längdenheter.

En triangel med sidorna 12 och 9 längdenheter.

Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.

a^2+b^2=c^2

I enlighet med bilden identifierar vi att a=12, och b=9. Det är ingen jättefara om vi skulle sätta de tvärtom, resultatet blir samma. Det blir däremot inte samma om vi blandar a och c och vice versa.

12^2+9^2=c^2

Då vi på Matematikguiden.se ibland gillar att vara övertydliga vänder vi nu på ekvationen så att vi har den okända variabeln på västersidan, enbart för vi tycker det är lite snyggare.

c^2=12^2+9^2

Vi beräknar kvadraterna.

c^2 = 144+81

Nu adderar vi ihop kvadraterna och nu är vi nästan framme.

c^2 = 225

Vi tar kvadratroten ur båda leden och får fram det sökta svaret.

\sqrt{c^2}=\sqrt{225}

Sidan c är alltså 15 längdenheter lång.

c=15

Det är värt att notera att lösningen egentligen är \pm 15, men eftersom det är en sträcka är vi inte intresserade av den negativa lösningen.

Kateten a är okänd

En rätvinklig triangel har en katet längden 24, och hypotenusan 25 längdenheter. Hur lång är den andra kateten?

En rätvinklig triangel med hypotenusan 25 längdenheter och ena kateten 24 längdenheter.

En rätvinklig triangel med hypotenusan 25 längdenheter och ena kateten 24 längdenheter.

Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.

a^2+b^2=c^2

Vi tittar på figuren, och ser att b=24 samt c=25. Vår ekvation blir följande:

a^2 + 24^2 = 25^2

Nu subtraherar vi 24^2 från båda sidorna.

a^2 = 25^2 - 24^2

Nu kan vi räkna ut högerledet.

a^2 = 625-576

Efter att ha subtraherat erhåller vi 49 i högerledet.

a^2 = 49

Vi tar kvadratroten ur båda leden.

\sqrt{a^2} = \sqrt{49}

Nu är vi framme vid svaret.

a=7

Den sista kateten är således 7 längdenheter lång.

 Kateten b är okänd

En rätvinklig triangel har en katet med längden 8 längdenheter, och hypotenusan 17 längdenheter. Hur lång är den andra kateten?

En rätvinklig triangel med kateten 8 längdenheter och hypotenusan 17 längdenheter.

En rätvinklig triangel med kateten 8 längdenheter och hypotenusan 17 längdenheter.

Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.

a^2+b^2=c^2

Vi använder bilden och identifierar i vårt fall är a=8.

8^2 + b^2 = 17^2

 Subtrahera 8^2 från båda leden.

b^2 = 17^2 - 8^2

Vi räknar ut kvadrattermerna.

b^2 = 289 - 64

Vi gör subtraktionen.

b^2 = 225

Med hjälp av kvadratroten får vi fram längden på sida b.

\sqrt{b^2} = \sqrt{225}

Vi har nu kommit fram till ett svar.

b = 15

Den andra kateten är då 15 längdenheter lång.

Läsuppgifter

Missa inte vår post om Pythagoras sats och broar, en tydlig genomgång av läsuppgifter och Pythagoras sats.