Tips till matematisk induktion

God afton. Matematisk induktion kan vara mycket trevligt när allting faller ut och lösningen blir snygg. Beroende på humör, lufttryck, politiskt läge, råoljapriser och annat så kan det ibland vara så att det inte alls faller ut direkt. Nedanför ger vi lite tips på vad som kan underlätta vid matematisk induktion.

Reservplanen – Expandera allt

Låt oss säga att vi ankommit till steget då vi substituerat in vårt induktionsantagande, och inte har en aning om hur vi ska göra för att få det att gå ihop. Låt oss säga att vi tar induktion som ur ”Introduktion till induktion med summasymbol” och vi har ankommit till detta steg.

\frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Här tar det av någon anledning stopp. Vi har inte en aning om hur vi går vidare genom faktorisering eller något sådant.

Då kan man sätta vänsterled och högerled för sig, och sedan är det bara att expandera ut alla termer. Detta är ganska tidskrävande, speciellt med höga exponenter, men vi ska ju egentligen bara visa att vänsterled är samma som högerled.

VL=\frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3

Respektive

HL = \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Sedan är det bara att börja expandera och multiplicera ihop termerna.

VL=\frac{p^4}{4}+\frac{3p^3}{2}+\frac{13p^2}{4}+3p+1

Och sjävklart vårt högerled

HL=\frac{p^4}{4}+\frac{3p^3}{2}+\frac{13p^2}{4}+3p+1

Detta är väldigt krävande, speciellt om det är fler termer i en parentes upphöjd till något högre än 2, men som sagt, om inget annat fungerar.

Givetvis kan detta göras på bara en del av ett uttryck, som vi gjort i genomgången ”Exempel på matematisk induktion”.

Håll koll på den högsta exponenten

En snabb kontroll som kan göras efter varje steg är att kontrollera om den  högsta exponenten i båda leden är densamma. Detta kan ge en fingervisning om att något har gått galet i något steg. Låt oss säga att vi har ovanstående exempel igen. Vi har ankommit hit.

\frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

I vänsterled är den högsta exponenten för p 4. I Högerleden är även där den högsta exponenten för p 4.

Exempel på högsta exponenten

Om vi låtsas att vi på något sätt kommit fram till ett steg som ser ut på följande vis.

(k+2)^2+(k+3)^3(k-1)^2=(k+2)^3+(k+10)^4

Vi börjar att leta i vänsterledets första term, (k+2)^2. Här vet vi att om vi expanderar hela uttrycket kommer den högsta exponenten vara 2. I den andra termen (k+3)^3(k-1)^2, där kommer den högsta exponenten vara 3+2=5. Således är den högsta exponenten i vänsterledet vara 5.

Om vi gör samma sak i vänsterledet kommer vi finna att den högsta exponenten är 4. Detta innebär att vi kommer ha en k^5 term någonstans i vänsterledet, men som maximalt en k^4 i högerledet. Således kan dessa uttryck inte vara lika med varandra.

Det gäller dock att vara uppmärksam på om den högsta exponenten någon gång subtraheras i en term senare. Som sagt, knepet visar inte mycket men kan ge en fingervisning om att någon har gått galet i steget innan.

Prova med ett tal

Matematisk induktion är ju egentligen till för att bevisa att det gäller för alla tal, men om något inte känns rätt kan det vara lönt att prova några tal för att se om det fortfarande stämmer. Vi återanvänder följande.

\frac{p^2(p+1)^2}{4} + (p+1)^3= \frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}

Då osäkerheten slår till känner vi att det här kanske ändå inte är helt rätt… Vi kan lugna ner oss med att prova exempelvis p=2.

\frac{2^2(2+1)^2}{4} + (2+1)^3= \frac{(2+1)^2(2+2)^2}{4}

Vilket ger 36 på båda sidorna. Det känns ju hoppfullt, även om detta inte visar någonting för andra tal än det du valt kan det ge en liten fingervisning om att vi ändå är på rätt väg med vår induktion.

Ett annat exempel är om vi hade efter några steg ankommit till följande:

k^3+(2k+1)^2 +k = (k+3)^3 + 3k

Vi tycker att det ser fel ut, och provar med k=1.

1^3+(2\cdot1+1)^2 +1 = (1+3)^3 + 3\cdot1

Här får vi att vänsterledet är 11, och högerledet till 67. Här behövs ingen diskussion. Någonstans är det garanterat fel. Det är bara att gå tillbaka…

Glöm inte att för vissa uttryck är grundfallet först på n=4 och då kommer fel resultat visas för exempelvis n=2. Prova därför med ett tal som är större eller lika med 4 om sådant är fallet.

Detta är några tips som kan vara användbara för matematisk induktion. Fyll gärna på i kommentarsfältet om du har något annat som kan vara användbart.