Vi har tidigare bevisat Pythagoras sats, och nu vill vi gärna ett par exempel på Pythagoras sats. I denna post har vi samlat 3 exempel på Pythagoras sats, en för varje sida som är okänd.
För en rätvinklig i enlighet med figur 1 nedan gäller:
a^2+b^2=c^2
Hypotenusan c är okänd
En rätvinklig triangels kateter har längdenheterna 12 och 9.
Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.
a^2+b^2=c^2
I enlighet med bilden identifierar vi att a=12, och b=9. Det är ingen jättefara om vi skulle sätta de tvärtom, resultatet blir samma. Det blir däremot inte samma om vi blandar a och c och vice versa.
12^2+9^2=c^2
Då vi på Matematikguiden.se ibland gillar att vara övertydliga vänder vi nu på ekvationen så att vi har den okända variabeln på västersidan, enbart för vi tycker det är lite snyggare.
c^2=12^2+9^2
Vi beräknar kvadraterna.
c^2 = 144+81
Nu adderar vi ihop kvadraterna och nu är vi nästan framme.
c^2 = 225
Vi tar kvadratroten ur båda leden och får fram det sökta svaret.
\sqrt{c^2}=\sqrt{225}Sidan c är alltså 15 längdenheter lång.
c=15
Det är värt att notera att lösningen egentligen är \pm15, men eftersom det är en sträcka är vi inte intresserade av den negativa lösningen.
Kateten a är okänd
En rätvinklig triangel har en katet längden 24, och hypotenusan 25 längdenheter. Hur lång är den andra kateten?
Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.
a^2+b^2=c^2
Vi tittar på figuren, och ser att b=24 samt c=25. Vår ekvation blir följande:
a^2 + 24^2 = 25^2
Nu subtraherar vi 24^2 från båda sidorna.
a^2 = 25^2 - 24^2
Nu kan vi räkna ut högerledet.
a^2 = 625-576
Efter att ha subtraherat erhåller vi 49 i högerledet.
a^2 = 49
Vi tar kvadratroten ur båda leden.
\sqrt{a^2} = \sqrt{49}Nu är vi framme vid svaret.
a=7
Den sista kateten är således 7 längdenheter lång.
Kateten b är okänd
En rätvinklig triangel har en katet med längden 8 längdenheter, och hypotenusan 17 längdenheter. Hur lång är den andra kateten?
Vi börjar med att skriva upp Pythagoras sats allmänt.
a^2+b^2=c^2
Vi använder bilden och identifierar i vårt fall är a=8.
8^2 + b^2 = 17^2
Subtrahera 8^2 från båda leden.
b^2 = 17^2 - 8^2
Vi räknar ut kvadrattermerna.
b^2 = 289 - 64
Vi gör subtraktionen.
b^2 = 225
Med hjälp av kvadratroten får vi fram längden på sida b.
\sqrt{b^2} = \sqrt{225}Vi har nu kommit fram till ett svar.
b=15
Den andra kateten är då 15 längdenheter lång.
Läsuppgifter
Missa inte vår post om Pythagoras sats och broar, en tydlig genomgång av läsuppgifter och Pythagoras sats.