Vincent van Gogh (Dutch, 1853 - 1890 ), Flower Beds in Holland, c. 1883, oil on canvas on wood, Collection of Mr. and Mrs. Paul Mellon

Faktorisera tal

Hej! Det är underlättar mycket om man har kunskaper om hur man kan faktorisera tal och har en bra metod för faktorisering i matematiken. Du kommer märka att delbarhetsreglerna är mycket användbara i faktorisering, så ett litet tips är att kolla titta närmare på dem också.

Faktorisering av tal i korthet

Att faktorisera ett tal innebär att talet bryts ner i så små faktorer som möjligt. Faktorer är de man multiplicerar ihop och får en produkt. De små talen man vill komma åt är primtalen. Primtalen är de tal som endast kan divideras med ett och sig självt.

Faktorisera tal – lätt exempel

Ett lätt exempel att börja faktorisera är 4. 4 kan också skrivas som 2 \cdot 2 eller 2^2. Om vi skriver 4 på formen 2^2 har vi således faktoriserat talet 4.

Faktorisera större tal

Låt oss säga att vi vill faktorisera 68. Det är väldigt få personer som säga primtalsfaktorerna bara genom att titta på talet. Vi behöver ha en bra teknik för att lösa detta. En bra metod är att börja dividera ner talet i mindre tal.

Om vi dividerar 68 med 2 får vi kvoten 34.

Följande måste då gälla:

68=2 \cdot 34

Om vi nu dividerar 34 med 2 får vi kvoten 17.

68=2 \cdot 2 \cdot 17

17 är ett primtal har vi faktoriserat 68 fullständigt.

Vi skriver dock om 2 \cdot 2 det som en potens.

68=2^2 \cdot 17

Exempel på faktorisering

Nu vill vi faktorisera 1260.

Då vi kan delbarhetsreglerna dividerar vi först med exempelvis 5.

\frac{1260}{5}=252

Nu kan följande skrivas

1260=5 \cdot 252

Vi dividerar nu 252 med exempelvis 2

\frac{252}{2}=126

Vi skriver nu 1260 som följande

1260=5 \cdot 2 \cdot 126

Vi dividerar nu 126 med 2

\frac{126}{2}=63

Vi skriver nu 1260 som följande

1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63

Vi dividerar nu 63 med 3

\frac{63}{3}=21

Vi skriver nu 1260 som följande

1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21

Och en sista division genomförs innan vi är framme

\frac{21}{3}=7

Fullständigt expanderat ser det ut på följande vis

1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

Efter att vi räknat med potenslagarna har vi ankommit vårt mål

1260=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7

Att bygga ett träd med faktorer

Om vi har talet 23562 och ska faktorisera detta fungerar metoden ovan hyffsat bra, dividera ner det i så små faktorer steg för steg, det kan däremot bli rätt kladdigt. Då kan man ta till hjälp att rita ett slags träd med faktorer och jobba sig nedåt.

Exempel på faktorisering av 840

Vi delar upp på samma sätt som i ovanstående exempel, fast med skillnad att vi gör detta som ett träd. Såhär kan ett träd se ut:

Faktorisering av 840 i ett träd

De siffror som hamnar längst ner i varje gren blir de som ingår i faktoriseringen. Därav kan vi skriva 840 i faktoriserad form som

2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

Beroende på vilken dividering du först gör kommer trädet se lite olika ut, men slutresultatet kommer alltid bli detsamma.

När är faktorisering användbart?

Låt oss säga att vi ska addera ett bråk,

\frac{19}{42}+\frac{11}{14}

Vi skulle kunna multiplicera båda nämnarna för att få en gemensam nämnare, men det ger ofta upphov till en mycket större nämnare än vad som egentligen är nödvändigt.

Om vi nu faktoriserar nämnarna kan vi enkelt se hur vi enklast får en gemensam nämnare.

\frac{19}{2 \cdot 7 \cdot 3}+\frac{11}{2 \cdot 7}

Om vi nu förlänger den högra termen med 3, kommer de ha samma nämnare.

\frac{19}{2 \cdot 7 \cdot 3}+\frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 7 \cdot 3}

Nu blir det en lättare addition att genomföra.

\frac{19}{42}+\frac{33}{42}

Täljarna räknas ihop

\frac{19+33}{42}

Det slutgiltiga resultatet blir

\frac{52}{42} = \frac{26}{21}