Faktorisera tal

Hej! Det är underlättar mycket om man har kunskaper om hur man kan faktorisera tal och har en bra metod för faktorisering i matematiken. Du kommer märka att delbarhetsreglerna är mycket användbara i faktorisering, så ett litet tips är att kolla titta närmare på dem också.

Faktorisering av tal i korthet

Att faktorisera ett tal innebär att talet bryts ner i så små faktorer som möjligt. Faktorer är de man multiplicerar ihop och får en produkt. De små talen man vill komma åt är primtalen. Primtalen är de tal som endast kan divideras med ett och sig självt.

Faktorisera tal – lätt exempel

Ett lätt exempel att börja faktorisera är [latex]4[/latex]. [latex]4[/latex] kan också skrivas som [latex]2 \cdot 2[/latex] eller [latex]2^2[/latex]. Om vi skriver [latex]4[/latex] på formen [latex]2^2[/latex] har vi således faktoriserat talet [latex]4[/latex].

Faktorisera större tal

Låt oss säga att vi vill faktorisera [latex]68[/latex]. Det är väldigt få personer som säga primtalsfaktorerna bara genom att titta på talet. Vi behöver ha en bra teknik för att lösa detta. En bra metod är att börja dividera ner talet i mindre tal.

Om vi dividerar [latex]68[/latex] med [latex]2[/latex] får vi kvoten [latex]34[/latex].

Följande måste då gälla:

[latex]68=2 \cdot 34[/latex]

Om vi nu dividerar [latex]34[/latex] med [latex]2[/latex] får vi kvoten [latex]17[/latex].

[latex]68=2 \cdot 2 \cdot 17[/latex]

Då [latex]17[/latex] är ett primtal har vi faktoriserat [latex]68[/latex] fullständigt.

Vi skriver dock om [latex]2 \cdot 2[/latex] det som en potens.

[latex]68=2^2 \cdot 17[/latex]

Exempel på faktorisering

Nu vill vi faktorisera [latex]1260[/latex].

Då vi kan delbarhetsreglerna dividerar vi först med exempelvis [latex]5[/latex].

[latex]\frac{1260}{5}=252[/latex]

Nu kan följande skrivas

[latex]1260=5 \cdot 252[/latex]

Vi dividerar nu [latex]252[/latex] med exempelvis [latex]2[/latex]

[latex]\frac{252}{2}=126[/latex]

Vi skriver nu [latex]1260[/latex] som följande

[latex]1260=5 \cdot 2 \cdot 126[/latex]

Vi dividerar nu [latex]126[/latex] med [latex]2[/latex]

[latex]\frac{126}{2}=63[/latex]

Vi skriver nu [latex]1260[/latex] som följande

[latex]1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63[/latex]

Vi dividerar nu [latex]63[/latex] med [latex]3[/latex]

[latex]\frac{63}{3}=21[/latex]

Vi skriver nu [latex]1260[/latex] som följande

[latex]1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21[/latex]

Och en sista division genomförs innan vi är framme

[latex]\frac{21}{3}=7[/latex]

Fullständigt expanderat ser det ut på följande vis

[latex]1260=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7[/latex]

Efter att vi räknat med potenslagarna har vi ankommit vårt mål

[latex]1260=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7[/latex]

Att bygga ett träd med faktorer

Om vi har talet [latex]23562[/latex] och ska faktorisera detta fungerar metoden ovan hyffsat bra, dividera ner det i så små faktorer steg för steg, det kan däremot bli rätt kladdigt. Då kan man ta till hjälp att rita ett slags träd med faktorer och jobba sig nedåt.

Exempel på faktorisering av 840

Vi delar upp på samma sätt som i ovanstående exempel, fast med skillnad att vi gör detta som ett träd. Såhär kan ett träd se ut:

Faktorisering av 840 i ett träd

De siffror som hamnar längst ner i varje gren blir de som ingår i faktoriseringen. Därav kan vi skriva [latex]840[/latex] i faktoriserad form som

[latex]2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7[/latex]

Beroende på vilken dividering du först gör kommer trädet se lite olika ut, men slutresultatet kommer alltid bli detsamma.

När är faktorisering användbart?

Låt oss säga att vi ska addera ett bråk,

[latex size=1]\frac{19}{42}+\frac{11}{14}[/latex]

Vi skulle kunna multiplicera båda nämnarna för att få en gemensam nämnare, men det ger ofta upphov till en mycket större nämnare än vad som egentligen är nödvändigt.

Om vi nu faktoriserar nämnarna kan vi enkelt se hur vi enklast får en gemensam nämnare.

[latex size=”2″]\frac{19}{2 \cdot 7 \cdot 3}+\frac{11}{2 \cdot 7}[/latex]

Om vi nu förlänger den högra termen med [latex]3[/latex], kommer de ha samma nämnare.

[latex size=”2″]\frac{19}{2 \cdot 7 \cdot 3}+\frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 7 \cdot 3}[/latex]

Nu blir det en lättare addition att genomföra.

[latex size=”2″]\frac{19}{42}+\frac{33}{42}[/latex]

Täljarna räknas ihop

[latex size=”2″]\frac{19+33}{42}[/latex]

Det slutgiltiga resultatet blir

[latex size=”2″]\frac{52}{42} = \frac{26}{21}[/latex]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *