Nollproduktmetoden för ekvationer

Hej! Idag ska vi titta närmare på nollproduktmetoden. En mycket bra och enkel metod för att lösa ekvationer.

Efter kvadratkomplettering av x^2 - 4x - 12 = 0 erhålls resultatet (x+2)(x-6)=0.

Vad krävs då för att  (x+2)(x-6)=0 ska vara sant?

Någon av faktorerna  (x+2) eller (x-6) måste vara noll.

Exempelvis är den första faktorn noll då x=-2

(-2+2)(-2-6)=0 \cdot (-4)=0

Den andra möjliga lösningen är x=6, då

(6+2)(6-6)=8 \cdot 0=0

Nollproduktmetoden och konjugatregeln

Med hjälp av konjugatregeln och nollproduktmetoden kan man lösa enkla ekvationer utan att addera/subtrahera och dra roten ur.

Vi har den givna ekvationen

x^2-16=0

Med hjälp av konjugatregeln

x^2-16=(x+4)(x-4)=0

Då finner vi att

x_1=-4 och x_2=4

Nollproduktmetoden och faktorisering

Nollproduktmetoden kan vara väldigt praktiskt om man skall lösa ekvationer så som x^4-9x^2=0. Vi börjar med att faktorisera

x^4-9x^2=x^2(x^2-9).

Med hjälp av konjugatregeln kan man sedan faktorisera lite till

x^2(x^2-9)=x^2(x-3)(x+3)

Vi har nu ekvationen

x^2(x-3)(x+3)=0

Där finner vi att x_1=0, x_2=3 och x_3=-3.

Fjärde, femte, n-tegradsekvationer

Ekvationen x^5 - 15x^4 + 85x^3 - 225x^2 + 274x - 120=0 har lösningarna x=1, 2, 3, 4, 5 då den i faktoriserad form kan skrivas som (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=0. Samma sak gäller här, det räcker att någon av faktorerna är noll för att produkten skall bli noll.