PQ-formeln för andragradsekvationer

Hej! Idag ska vi titta på PQ-formeln som är ett bra hjälpmedel när man löser andragradsekvationer.

pq-formeln i korthet

x^2+px+q=0 har följande lösningar:

x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Härledning av pq-formeln

Det är lätt att härleda pq-formeln med hjälp av kvadratkomplettering.

x^2+px+q=0

x^2+px=-q

Nu kvadratkompletterar vi med halva koefficienten framför x.

x^2+px+(\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q x^2+px+(\frac{p}{2})^2 kan nu skrivas som (x+\frac{p}{2})^2

(x+\frac{p}{2})^2=(\frac{p}{2})^2-q

\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2}=\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

x+\frac{p}{2}= \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

Exempeluppgift löst med pq-formeln

x^2 + 2x -6 =2

Det första vi måste göra är att se till att ekvationen är ekvivalent med noll istället, så vi subtraherar 2 från båda sidorna.

x^2 + 2x - 8=0

Vilket ger följande p=2 och q=-8 Jämför med den allmänna formen, x^2+px+q=0.

x=-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-8)}

x=-1 \pm \sqrt{(1)^2+8}

x=-1 \pm \sqrt{9}

x=-1 \pm 3

x_1=-1+3=2

x_2=-1-3=-4

Dubbelrot i pq-formeln

Ibland kan man få en så kallad dubbelrot när man ska solvera en andragradsekvation. Detta syns i pq-formeln genom att det är 0 under rottecknet.

x^2+18x+81=0

x=-\frac{18}{2} \pm \sqrt{(\frac{18}{2})^2-81}

x=-9 \pm \sqrt{9^2-81}

x=-9 \pm \sqrt{81-81}

x=-9 \pm \sqrt{0}

x=-9