Pythagoras sats – bevis och introduktion

Hej. Idag ska vi ha en genomgång av Pythagoras sats. Pythagoras sats introduceras i början av högstadiet, och därefter kommer den att följa med dig hela din utbildning, och sannolikt även hela din karriär om du fortsätter som ingenjör. Det har inte funnits ett enda nationellt prov i årskurs 9 som inte tagit upp Pythagoras sats, så även om du inte tycker matematik är jättekul är satsen nödvändig att kunna.

Pythagoras sats i korthet

För en rätvinklig triangel, dvs, en sådan där en vinkel är 90 grader gäller följande.

 a^2+b^2=c^2

Rätvinklig triangel med kateterna a och b, samt hypotenusan c.

Figur 1. Rätvinklig triangel med kateterna a och b, samt hypotenusan c.

~a~ och ~b~ kallas kateter, och ~c~ kallas hypotenusan. Dessa namn är viktiga att ha på minnet då de ofta dyker upp i läsuppgifter.

Bevis av Pythagoras sats

Det finns flera sätt att bevisa Pythagoras sats, förmodligen flera hundra, men vi har valt ett av de enklaste sätten. Detta bevis förkommer ofta i läroböckerna.

Vi börjar med en rätvinklig triangel i enlighet med figur 2 här nedanför. Vi har kateterna ~a~ och ~b~, samt hypotenusan ~c~.

dfg

Figur 2. En rätvinklig triangel.

Det vi gör nu är följande, vi tar triangeln, roterar den och ställer den på högkant. Detta gör vi tills vi får resultatet i figur 3. Nu har vi fyra trianglar och en kvadrat.

fgh

Figur 3. Fyra trianglar och en kvadrat.

Om du tycker ovanstående var mycket har vi gjort en animation nedan. Klicka på ”Se som animation” så visas en gif-animation.

dfg

Figur 4. En animation av figur 3.

Nu kommer vi att uttrycka arean på två sätt.

 Arean med hjälp av kvadratens sidor

Det första vi kommer göra nu är att beskriva arean för kvadraten med hjälp av kvadratens långa sidor. Sidorna i kvadraterna är b+a, och arean skrivs som basen multiplicerat med höjden.

A_1 =(b+a)(b+a)=b^2+ba+ba+a^2

För att förtydliga, vi tänker bort alla sträck inuti och bryr oss inte om c i denna area. Det är bara hela arean av kvadraten vi är ute efter.

Ovanstående kan vi skrivas om som följande, vilket känns igen från kvadreringsregeln.

A_1 =(b+a)(b+a)=a^2+2ab+b^2

Arean med hjälp av trianglar och vinklad kvadrat

Vi kan också skriva arean som summan av de fyra trianglarna, samt den vinklade kvadraten.

Arean av en triangel är basen multiplicerad med höjden dividerat med 2. Vi har fyra stycken trianglar. Arean av trianglarna kan då summeras som

\frac{ba}{2} + \frac{ba}{2} + \frac{ba}{2} + \frac{ba}{2}=4(\frac{ba}{2})=2ba=2ab.

Totala arean skrivs då som arean av trianglarna, adderat med arean av kvadraten. Kvadratens area är c^2, och totala arean är

A_1 =2ab+c^2.

Båda areorna är likamed varandra

Båda areorna är självklart lika stora, varvid

A_1 = A_2.

Vi tar in våra uttryck för areorna

a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2.

Om vi subtraherar 2ab ur båda leden är vi framme.

a^2+b^2=c^2.

Och så har vi bevisat Pythagoras sats!

  • Christoffer

    Idag har jag uppdaterat hela posten!

  • matteimittblod

    ezz! men tack behövde hjälp, men du vet matte i mitt blod! peace out

  • matteimittblod

    ezz pzz

  • matteimittblod

    Jag såg Harambe klättra the trump tower idag! Han skrek MATTEGUIDEN ÄR JÄTTEBRA och sedan dog han, och då sa alla rip harambe, det är ju inte bra och jag tycker inte om det jag grät för.. MATTE I MITT bLoD #dontjokeabutmexicans,thatscrossingtheborder!

  • Malin Thorstenson

    Hej! Är det ok om jag lånar bilden på beviset för Pythagoras sats (figur 3) för en presentation? :) Tack på förhand!

    • Christoffer

      Hej! Det går utmärkt, om du vill får du också gärna säga var den kom ifrån.

      En övrig notering, om du ska använda den för årskurs 7/8/9, kan ett tips vara att färglägga trianglarna i en färg och kvadraten i en färg. Jag upplever att den som tittar på den kan ha lättare att ta in bilden då. Det står på min att-göra lista att färglägga bilderna på denna sida.